Зосима Алексеевич Шашков родился 12 апреля 1905 года в деревне Новинки Великоустюгского уезда Вологодской губернии, ныне Котласский район Архангельской области. Окончил Посеговскую школу 1 ступени Приводинской волости Великоустюгского уезда Северо-Двинской губернии и Котласскую школу 2 ступени.
С 1918 года трудился бакенщиком, матросом, штурвальным, боцманом в Северном управлении внутренних водных путей в городе Котласе. В 1924 году окончил Великоустюгский техникум водного транспорта с присвоением квалификации штурмана 2-го разряда.
В 1926 был переведён таксировщиком в город Сыктывкар, затем назначен заведующим транспортной частью и начальником судоходного надзора управления. После окончания Ленинградского института инженеров водного транспорта в 1933 году, заведовал лабораторией Горьковского института инженеров водного транспорта.
С 1935 года возглавлял факультет Ленинградского института инженеров водного транспорта, с 1937 года – Горьковский институт инженеров водного транспорта.
В 1938 был назначен заместителем наркома комиссара водного транспорта СССР, в 1939 году наркомом речного флота СССР. В годы Великой Отечественной войны организовывал эвакуацию речного флота, обеспечение воинских оперативных и снабженческих перевозок. Будучи членом Транспортного комитета при ГКО, руководил обеспечением войск в период Сталинградской битвы, работой переправ через реку Волгу. В 1943 возглавил работы по восстановлению разрушенного хозяйства речного транспорта в освобождённых районах.
После войны, с 1953 года – министр морского и речного флота СССР, с 1954 по 1960 гг. возглавлял Министерство речного флота РСФСР, с 1961 года был зам. начальника отдела транспорта и связи Гос. Эконом, Совета Министров СССР, с 1963 года работал в Госплане СССР. После выхода на пенсию в 1967 преподавал в Московском филиале Ленинградского института инженеров водного транспорта. Сыграл важную роль в развитии речного транспорта страны, многое сделал для строительства портовых сооружений, расширения судостроения и судоремонта, в т.ч. на Лимендском судостроительно-судоремонтном заводе в городе Котласе Архангельской области.
Умер 14 июля 1984 года в городе Москве.
Награждён орденами Ленина (1943, 1953, 1955), Трудового Красного Знамени (1940), медалями «За оборону Сталинграда» (1943), «За оборону Москвы» (1944), «За оборону Кавказа» (1944), в память 800-летия Москвы (1947) и другими.
В городе Котласе на здании управления Севводпути открыт
памятный горельеф (2005), на родине Шашкова в деревне Новинки Котласского района –
памятный знак (2005). Великоустюгскому речному училищу присвоено имя Шашкова (2000), в училище установлен бюст (2005). Именем З. А. Шашкова назван пассажирский туристический теплоход (Онежское озеро).